【数学笔记】单位根

有些东西不记下来就忘了……

单位根

$x^n-1=0$

事实上就是$x=\sqrt[n]{1}$

其实它有$n$个解（代数基本定理），我们管这$n$个解叫$n$次单位根

单位根的推导

很显然，在实数上我们只知道$\pm 1$这两个解，找那$n$个解要去复数域上去找。

设$z^n=1$

用辐角表示法，设$z=r(\cos \theta+i\sin\theta)$

由棣莫弗公式，有$r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=1$

显然$|z^n|=|z|^n$，所以$r^n=1$

所以可以表示为$z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta=1$

虚部与虚部对应，实部与实部对于，得到

$$\left\{\begin{matrix} \cos n\theta =1 \\i\sin n\theta=0 \end{matrix}\right.$$

所以$n\theta=0,2\pi,4\pi,6\pi\cdots$

观察发现$n\theta=2k\pi$

$\theta=\frac{2k\pi}{n}$

所以这个复数可以表示为$z=\cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}$

用欧拉公式描述，就变成了

$$\omega=e^{\frac{2k\pi}{n}i}$$

这也就是最常见的单位根表示的方法。

单位根的应用

在MO里，单位根可以来算一些关于圆的几何问题。

在抽象代数里，单位根可以表示一个循环群，比如12元的单位根的生成元有$\varphi (12)=4$个

在FFT里，用到了单位根和原根的一些特性