【数学笔记】微分

前言

微分是一种很有用的工具，在初高中数学中有很多应用。

在阅读本篇文章前，你应该已经学会了导数和求导的法则（否则还学什么微分）。

什么是微分

很多人会把微分和导数混为一谈，事实上，它们是两种完全不一样的东西。

回顾导数

我们学习导数的时候，曾经学过导数的计算公式

$$f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

这个公式的含义是什么呢？它代表了一个函数在$x$取得一点点增量时，与$f(x)$的增量的比值。

通俗地说，就是$x$变化一点点，$y$自然也会变化一点点，此时$y$的变化和$x$的变化的比值就是导数。

如果写成一个简单的公式，就是$f'(x)=\frac{dy}{dx}$

微分？微商？

那么微分又是什么呢？

如果我们说导数是$\frac{dy}{dx}$，那么微分就是$dy$。

形式化地，微分就是$x$取得一点增量后，$y$取得增量（注意：这里没有比值了）

如果你足够聪明，你应该已经看出了导数和微分的关系，没错，微分$dy=f'(x)dx$

那么我们也就能够推出导数和微分之间的各种关系，比如

$$dy=f'(x)dx$$

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$

$$dx=\frac{dy}{f'(x)}$$

可以看出，导数其实就是微分和$dx$的比值，所以我们也管导数叫做“微商”

微分的表示

微分的表示很弱智，就是在函数前面放个$d$

如$f(x)$的微分就是$df(x)$，$y$的微分就是$dy$

这个$d$可以理解为一个运算符号，就像是在$f(x)$上加一个$'$就代表$f(x)$的导数$f'(x)$，我们不需要特殊记忆。

没啥用的微分表

如何计算微分呢？

很多大学课本上都会给出一大堆函数的微分，在我看来，那根本没必要，通过$dy=f'(x)dx$这一个公式，就能知道所有函数的微分。

举个例子，求$f(x)=x^2$的微分。

我们知道，$x^2$的导数是$2x$，所以$x^2$的微分就是$2xdx$

再放几个微分。

1. $f(x)=e^x$
   $f'(x)=e^x$
   $df(x)=e^xdx$
2. $f(x)=\ln x$
   $f'(x)=\frac{1}{x}$
   $df(x)=\frac{dx}{x}$
3. $f(x)=\sin x$
   $f'(x)=\cos x$
   $df(x)=\cos xdx$
   ……

微分有啥用

微分的应用有很多种，最主要的应用就是近似。

为什么微分能近似

我们回到导数的定义

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

注意，$\Delta x$是趋近于0的，那么假如$\Delta x$是一个很小的量时，效果是什么样的呢？

可以证明，当$\Delta x$很小的时候（比如0.01），取得的结果和导数差不多，而且$\Delta x$越小，误差就越小。

这就是微分能够去近似的原因。

微分近似第一弹

我们设一个数$\Delta x$（注意这里我们把$\Delta x$看成是一个数，而不是无穷小）
那么由导数的定义，我们有

$$f(x+\Delta x)-f(x)\sim f'(x)\Delta x$$

那么这个公式有什么用呢？

如下面这道例题：

在半径为1cm的铁球表面镀上一层厚度为$0.01$cm的铜，计算大约需要多少克的铜（铜的密度为$8.9g/cm^3$）

我们先写出暴力计算所需要的公式（如果真这么算计算量特别大）

$m_\text{铜}=\rho v=8.9\cdot\frac{3}{4}\pi [(1+0.01)^3-1^3]$

我们发现，这里面的$(1+0.01)^3-1^3$很像前面的那个微分公式诶。

所以我们设$f(x)=x^3$，那么$(1+0.01)^3 -1^3$就可以写出$f(1+0.01)-f(1)$

通过刚才的那个微分公式，我们可以得到

$$f(1+0.01)-f(1)\sim f'(1)\cdot0.01$$

我们知道$f'(x)=3x^2$，所以

$$f(1+0.01)-f(1)\approx 3\cdot1^2\cdot0.01=0.03$$

故$m_\text{铜}=8.9\cdot\frac{3}{4}\pi\cdot0.03\approx1.12g$

通过这道例题，我们发现，微分可以处理一些关于增量的近似问题，因此在物理中有很大的应用。

微分近似第二弹

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

这个公式有什么用呢？它可以计算在$x_0$点附近的函数值，举个例子。

求$\sin 46^{\circ}$

我们知道$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$，但是$\sin 46^\circ$却很难计算，于是我们可以通过上面的微分公式。

因为

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

所以

$$\sin(45^\circ+1^\circ)\approx \sin(45^\circ)+\cos(45^\circ)\cdot1^\circ$$

用弧度制表示，就变成了

$$\sin 46^\circ\approx \frac{\sqrt2}{2}+ \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\approx0.719$$

微分还能求误差？

咕咕咕