【数学笔记】洛必达法则

洛必达法则是用来求一个函数极限的法则。

洛必达法则的引入

求

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

分子的极限是$\sin 0=0$，分母的极限是$0$，得出了$\frac{0}{0}$的结果，怎么办捏？

我们当然可以用夹逼定理等很多种方法求得答案，但是用洛必达法则比较简单。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x){}' }{x'}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1$$

你可能已经看明白了，就是分数上下同时求导后的极限，和原函数的极限是相同的。

洛必达法则真的这么神奇吗？什么函数都能这么求吗？

未定式

0/0型和$\infty/\infty$型

刚刚的函数

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

上下都是无穷小，所以我们称它为$\frac{0}{0}$型未定式，这种情况一般可以用洛必达法则来求。

还有一种情况是$\frac{ \infty}{ \infty}$型，也就是上下求完极限都是无穷大，这种情况也可以用洛必达法则来求。

如

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}$$

我们使用洛必达法则，得到

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}=\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型是洛必达法则最基础的两个形式，其他形式的极限大多可以化为这两种形式。

其他形式的未定式

刚刚说过，其他的未定式大多可以可以化为$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型，下面举几个例子。

如

$$\lim_{x\to 0} x\ln x$$

左边的极限是$0$，右边的极限是$-\infty$，所以这是一个$0\cdot \infty$型的未定式。

那么它怎么用洛必达法则呢？

我们可以把他变成

$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$$

那么它就变成了一个$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。

于是我们就可以使用洛必达法则

$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}-x=0$$

这样就求得了它的极限。

类似的，像$0^0,\infty^{\infty},\infty-\infty$等类型的未定式大多可以化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型。

洛必达法则使用条件

洛必达法则是要求极限，所以你首先得保证上下求导后得出的函数有极限。

另外，既然要求导求极限，那么这个函数的上下肯定得有导数。

上面说的这两条在一般的题目中都是符合的，所以不用特殊记。

另外只有能化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的函数才能用洛必达法则，这一点经常错，如

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x ^2}$$

先用一次洛必达，得到

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x}{2x}$$

很多人做到这一步后可能会再用一次洛必达，得到

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\cos x}{2}=1$$

但是1不是这个函数的极限，哪里算错了呢？

原来，第二次洛必达得到的函数$\frac{e^x+\sin x}{2x}$已经不是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式了，所以不能用洛必达法则。

所以，我们在多次洛必达的过程中，一定要检查函数的未定式形式，如果无法化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，就不能再算下去了！

习题

1. 求

$$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^2\sin x}$$

观察到$\sin x \sim x$，所以原式可化为

$$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$$

这个函数是$\frac{0}{0}$型未定式，可以用洛必达法则。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}$$

我们发现，这个式子还是$\frac{0}{0}$型未定式，所以继续洛。

得到

$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} =1$$

2. 求

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$$

观察到函数为$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，可以用洛必达法则。

得

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} =\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$$